Teorija kaosa: Koja je razlika između kaotičnog i slučajnog ponašanja?


Odgovor 1:

Kratka priča je sljedeća. Nasumično ponašanje nije determinirano: čak i da biste znali sve što se o nekom sustavu može znati u određenom trenutku s savršenim detaljima, još uvijek ne biste mogli predvidjeti stanje u budućem vremenu. Kaotično ponašanje s druge strane potpuno je determinirano ako poznajete početno stanje u savršenim detaljima, ali svaka nepreciznost u početnom stanju, bez obzira koliko mala, s vremenom brzo raste (eksponencijalno).

Slučajni sustavi

Bacanje novčića ili lutrija primjeri su slučajnih sustava [*]. Kovač možete baciti milijun puta, znati ishod svaki put, ali uopće vam ne bi pomoglo da predvidite ishod sljedećeg bacanja. Slično tome, možete znati cijelu povijest brojeva koji su pobijedili na lutriji, ali to vam neće pomoći da osvojite lutriju. (Ako ovo zvuči iznenađujuće, pogledajte Gamblerova zabluda.)

[*] Ovdje mislim na idealizirane sustave gdje se očituje slučajnost.

Itsimportanttopointout,however,thatrandomsystemsarenotnecessarilycompletelyunpredictable.Take,forexample,aGaussianrandomwalk,inwhichaparticlespositionisupdatedateverytimestepbyasmalldisplacementinarandomdirection,withmagnitudedrawnfromaGaussiandistributionwithstandarddeviationσ.Whileitsimpossibletoexactlypredictwheretheparticlewillbeafter[math]n[/math]steps,itispossibletoshowthat,withhighprobability,itwontbemuchfartherthan[math]σn[/math].If[math]σ[/math]issmall,thismightmeanthatyouactuallycanpredictwheretheparticlewillbewithhighaccuracy,despitetherandomnessofthesystem.It's important to point out, however, that random systems are not necessarily completely unpredictable. Take, for example, a Gaussian random walk, in which a particle's position is updated at every time step by a small displacement in a random direction, with magnitude drawn from a Gaussian distribution with standard deviation \sigma. While it's impossible to exactly predict where the particle will be after [math]n[/math] steps, it is possible to show that, with high probability, it won't be much farther than [math]\sigma \sqrt n[/math]. If [math]\sigma[/math] is small, this might mean that you actually can predict where the particle will be with high accuracy, despite the randomness of the system.

Da biste ovo učinili intuitivnijim, zamislite da pokušate pronaći pijanicu. Napustio je bar u ponoć, a vi ga tražite sat vremena kasnije. Budući da je pijan, hoda bez cilja i nećete moći znati točno gdje je. Međutim, znajući da on korača brzinom od jednog koraka u sekundi i pretpostavljajući da je svaki korak napravljen u novom, sasvim nasumičnom smjeru, znate da nakon jednog sata ne može biti puno udaljeniji od 60 koraka (možda stotinu noge) daleko od mjesta gdje je otišao.

Kaotični sustavi

Oneoftheusualexamplesofchaoticbehavioristhelogisticmap.Thestateofasystemisrepresentedbyanumberxwhichevolvesindiscretetimesteps.Ateachstep,thestateischangedaccordingto[math]xn+1=rxn(1xn).[/math]Forsomevaluesof[math]r[/math],thebehaviorof[math]xn[/math]isrelativelysimple:forlarge[math]n[/math],[math]xn[/math]willoscillatebetweenafinitesetofvalues.However,formostvaluesof[math]r[/math]beyondabout3.57,thefinalbehaviorofthesystemisextremelydependentoninitialconditions.Thisbehaviorissummarizedinabifurcationdiagram,whichlookslikethisforthelogisticmap:One of the usual examples of chaotic behavior is the logistic map. The state of a system is represented by a number x which evolves in discrete time steps. At each step, the state is changed according to[math]x_{n+1} = r x_n (1-x_n)\,.[/math]For some values of [math]r[/math], the behavior of [math]x_n[/math] is relatively simple: for large [math]n[/math], [math]x_n[/math] will oscillate between a finite set of values. However, for most values of [math]r[/math] beyond about 3.57, the final behavior of the system is extremely dependent on initial conditions. This behavior is summarized in a bifurcation diagram, which looks like this for the logistic map:

(s Wikipedije)

Thisshowswherexmightendupafteralargenumberofstepsasafunctionof[math]r[/math].Asyoucansee,whileforsmall[math]r[/math],thereareonlyacoupleofasymptoticvaluesfor[math]x[/math],for[math]r[/math]around3.6andlarger,[math]x[/math]canbeallovertheplace.This shows where x might end up after a large number of steps as a function of [math]r[/math]. As you can see, while for small [math]r[/math], there are only a couple of asymptotic values for [math]x[/math], for [math]r[/math] around 3.6 and larger, [math]x[/math] can be all over the place.

Adifferentwaytolookatthisisthefollowing.Belowisaplotshowingthevaluesofxnfortwostartingvalues,[math]x0(1)=0.40[/math]and[math]x0(2)=0.41[/math],for[math]r=3.5[/math].Thevaluesforthefirstsequence(startingwith0.40)areplacedonthe[math]x[/math]axis,whilethevaluesforthesecondsequence(startingwith0.41)areplacedonthe[math]y[/math]axis.Theresapointforevery[math]n[/math].A different way to look at this is the following. Below is a plot showing the values of x_n for two starting values, [math]x_0^{(1)} = 0.40[/math] and [math]x_0^{(2)} = 0.41[/math], for [math]r = 3.5[/math]. The values for the first sequence (starting with 0.40) are placed on the [math]x[/math]-axis, while the values for the second sequence (starting with 0.41) are placed on the [math]y[/math]-axis. There's a point for every [math]n[/math].

Thewaytoreadthisplotisthefollowing.Ifforagivenn,thevaluesofthetwosequencesareequal,thenyouwillgetapointonthediagonal(representedwithadashedlineintheplot)the[math]x[/math]andthe[math]y[/math]coordinatesforthispointareequal.Ifthetwovaluesaresimilarbutnotequal,youllgetapointclosetothediagonalbutnotonit.Iftheyarecompletelydifferent,thepointwillbefarfromthediagonal.Asyoucansee,althoughthetwosequencesstartedfromdifferentinitialconditions,theybehavemoreandmorealikeasthenumberofstepsincreases:mostofthepointsontheplotareonorclosetothediagonal.(Note:Icoloredthepointswithalightershadeofredforsmall[math]n[/math]sothatthereddestpointsareforlatertimes)The way to read this plot is the following. If for a given n, the values of the two sequences are equal, then you will get a point on the diagonal (represented with a dashed line in the plot) -- the [math]x[/math] and the [math]y[/math] coordinates for this point are equal. If the two values are similar but not equal, you'll get a point close to the diagonal but not on it. If they are completely different, the point will be far from the diagonal. As you can see, although the two sequences started from different initial conditions, they behave more and more alike as the number of steps increases: most of the points on the plot are on or close to the diagonal. (Note: I colored the points with a lighter shade of red for small [math]n[/math] so that the reddest points are for later times)

Nowtakealookatwhathappenswhenr=3.7.Now take a look at what happens when r=3.7.

Sveti moli! Bodovi su posvuda! To znači da iako smo započeli s dva vrlo slična početna stanja, dvije sekvence ne izgledaju nimalo slično. To je kaos.

Razlikovanje kaosa od slučajnosti

Zapravo je netrivijalno razlikovati slučajne od slučajnih brojeva. Na primjer, kažem vam da je sljedeće bacanje novčića (1 je glava, 0 je rep): [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1] (to je četrnaest). Izgleda li vam to slučajno? Sigurna sam da nije. Ipak, otkrio sam kako se tačno ta dva puta pojavljuju u deset tisuća bacanja novčića generiranih pomoću pravog generatora slučajnih brojeva (random.org). Isti deset tisuća bacanja novčića također sadrži niz [1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0] dva puta i [0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] ( osamnaest nula) jednom. Naravno, ove pojave su rijetke (s obzirom na bilo koji slijed duljine 14, očekivali biste da će se pojaviti u jednom od oko 16000 crteža), ali istodobno, ne čudi da ih ovdje vidimo jer smo koristili 10000 uzoraka za Nađi ih. Stvar je, međutim, da ako vam netko daje uzorke slučajnim redoslijedom, o samom uzorku ništa ne može reći je li podrijetlo uzorka slučajni postupak ili ne.

Sada usporedite nizove koje sam gore prikazao s ovim: [1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0]] Ovaj izgleda više slučajno, zar ne? Pa, generiran je pseudo slučajnim generatorom na mom računalu, što znači da se on zapravo izračunava deterministički iz dinamike kaotičnog sustava! To pokazuje poteškoće u razlikovanju "prave" slučajnosti od onoga što dobijete kada jednostavno ne znate točno stanje sustava.

Nepredvidivo

Važno je ne brkati slučajnost s nepredvidivošću. Nasumično ponašanje nije predvidljivo u strogom smislu (ne mogu se savršeno predvidjeti), ali može biti predvidljivo s visokim stupnjem točnosti (kao u slučaju slučajnog hodanja o kojem sam pisao ranije). Suprotno tome, nepredvidivost može biti posljedica slučajnosti (poput nemogućnosti da se točno predvidi kada će se dogoditi radioaktivni raspad), ali u većini slučajeva to je jednostavno zbog naše nesposobnosti da početno stanje sustava dovoljno precizno izmjerimo i slijedimo ga kroz dovoljno precizno stanje (kao u slučaju prognoze vremena ili pokušavate predvidjeti gdje će kap vode pasti s vala koji pljusne na obalu [ovo je primjer zbog Feynmana koji trenutno ne mogu pronaći referencu]).


Odgovor 2:

Postoje izvrsni opisi teorije kaosa i slučajnosti kao odgovor na ovo pitanje, ali možda bi bilo vrijedno napomenuti da je konceptualni okvir teorije haosa izuzetno vrijedan na mnogim različitim poljima; osobito u ekonomiji i poslovanju, ovo su polja u kojima stratezi moraju imati određenu kontrolu nad složenom situacijom u kojoj ima previše interaktivnih čimbenika da bi mogli predvidjeti ishode.

Priroda, sjajan je primjer stratega koji koristi konceptualni okvir teorije haosa za stvaranje optimalno učinkovitih bioloških sustava. Ključno za korisno korištenje teorije haosa je razumijevanje da se radi o dinamičkim sustavima koji se sastoje od mnoštva interaktivnih elemenata. Takvi sustavi podliježu osnovnim fizičkim zakonima zbog kojih se oni uvijek pokušavaju uskladiti u stabilno stanje (najmanje energije). Iako ovo stabilno stanje nije predvidljivo, može se održavati tijekom velikog broja varijacija u interakcijama komponenata.

Teorija kaosa nam govori da će, ako interakcije komponenata dosegnu kritični prag, sustav postati haotičan i potom se smjestiti u novo i drugačije stanje ustaljenog stanja. Priroda koristi ovaj fenomen da bi evocirao evolucijski napredak. Genetske varijacije uglavnom se mogu tolerirati u biološkom sustavu, ali s vremena na vrijeme genetska promjena može biti dovoljna da biološki sustav djeluje značajno drugačije. To može biti na bolje ili na gore. Konkurencija među biološkim sustavima osigurava očuvanje sustava koji se mijenjaju na bolje i gubitak inferiornih promjena.

Iako možda ništa ne znaju o teoriji haosa, pametni ekonomisti i poslovni ljudi su svjesni ovog fenomena i kada se sustav ne ponaša onako kako bi želio da se on ponaša, oni mijenjaju promjene i pretvorili ga u novo stanje. Moraju biti dovoljno hrabri da se nose s nastalim kratkoročnim kaosom koji uključuje to i biti spremni da ukinu promjene ako se situacija pogorša, ali to je jedini način na koji možete rješavati i kontrolirati složene sustave. Šteta što naši političari nisu izučeni u teoriji kaosa.


Odgovor 3:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.


Odgovor 4:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.


Odgovor 5:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.


Odgovor 6:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.


Odgovor 7:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.


Odgovor 8:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.


Odgovor 9:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.


Odgovor 10:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.


Odgovor 11:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.


Odgovor 12:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.


Odgovor 13:

Možda u određenom temeljnom smislu nema razlike,

što znači da u prirodi ne postoji stvarnost kao istinska slučajnost.

Možda postoje samo stupnjevi slučajnosti, određeni veličinom

stupanj entropije u fenomenu. Problem je taj savršen

slučajnost nema nikakvog informacijskog sadržaja i to,

sama po sebi je informacija. Paradoks vrsta.