Kako pišete 85 kao razlika između dvaju kvadrata?


Odgovor 1:

Riješit ću se ovakvim stilom znanosti, a ne matematike.

Možda je najjednostavniji način pronalaženja brzog jeftinog odgovora primijetiti uzorak u uzastopnim kvadratima:

2212=41=32^2 - 1^2 = 4–1 = 3

3222=94=53^2 - 2^2 = 9–4 = 5

4232=169=74^2 - 3^2 = 16–9 = 7

To je zanimljivo. Da li se uzastopni kvadrati razlikuju uzastopnim neparnim brojevima? Pokušajmo napraviti model:

Zašto su razlike između uzastopnih kvadrata jednake redoslijedu neparnih brojeva ?, na Math Stack Exchange.

Ok, gledam narančaste "L" oblike. Ovo bi mogao biti dobar model. Vrijedno je mljeti malo algebre da biste to saznali. Da vidimo možemo li pronaći formulu razlike uzastopnih kvadrata:

n2(n1)2=n2n2+2n1=2n1n^2 - (n-1)^2 = n^2 -n^2 +2n-1 = 2n-1

Da. Tako možemo iz samo matematike pokazati da se uzastopni kvadrati razlikuju po uzastopnim neparnim brojevima. Nisu nam trebali podaci i model. Huh.

U svakom slučaju, sada to tek trebamo riješiti

2n1=85.2n-1 = 85.

n=43.n = 43.

Tako

432422=85. 43^2 - 42^2 = 85.

Uh ... lem pop up kalkulator.

Da, da, tako je. (Prvi put sam dobio n = 42, ali me je kalkulator spasio i uredio sam svoj odgovor.)

Kladim se da to nije jedini odgovor. To je samo jednostavan način pronalaženja jednog odgovora.


Odgovor 2:

Pretpostavimo da imate cijeli pozitivni broj A, B takav

A2B2=85A^2 - B^2 = 85

,

Faktoring razlika kvadrata:

A2B2=(A+B)(AB)=85A^2-B^2 = (A+B)(A-B)=85

Imamo to

A>BA>B

i mi to imamo

A+B=MA+B = M

AB=NA-B = N

gdje

MN=85MN = 85

i

M>NM>N

, 85 se može uzeti u obzir samo kao 85 * 1 i 17 * 5.

2A=M+N2A = M+N

i

2B=MN2B = M-N

, tako

M+NM+N

i

MNM-N

moraju biti parne, što se događa samo kada su M i N jedno ili oba neparna.

Generalizacija: Ako je „85“ neki drugi broj, tada bi jednadžba imala rješenja s čitavim brojevima, „85“ bi trebao biti neparan (tako da su i M i N neparni), ili bi „85“ trebalo podijeliti s 4 (tako da se M i N mogu odabrati da budu obje parne). Ako bi "85" bilo djeljivo sa 4, M i N bi trebali biti oba čimbenika od "85".


Odgovor 3:

Vjerojatno postoji nekoliko načina za rješavanje ove vrste problema, ali mislim da je sljedeći put najpristupačniji.

Pretpostavljamo da postoji rješenje cijelog broja i da vidimo gdje nas to vodi.

Pretpostavimo da su dva kvadrata a i b. Tada možemo napisati: (u sljedeća 2 znači kvadrat)

a2 - b2 = 85

Možemo rangirati lijevu stranu kao (ab) (a + b), tako da

(ab) (a + b) = 85

Sada tražimo faktore 85. Budući da se broj završava s 5, djeljiv je sa 5.Ovo daje 5 * 17. Ovo su oba jednostavna broja, tako da nema drugih faktora. Osim (1 * 85).

Dakle: (ab) (a + b) = 5 * 17

Dakle, možemo pretpostaviti: (ab) = 5 (a + b) = 17

Ako ih zbrojimo u eliminate b daje: 2a = 22, a daje = 11

Dakle, 11-b = 5 daje b = 6

Dakle, a = 11 i b = 6

Za testiranje: 11 kvadrat = 121, 6 kvadrat = 36.121 - 36 = 85

Pokušajmo s drugom mogućnošću (1 * 85) :( ab) (a + b) = 1 * 85. (Ab) = 1, (a + b) = 85Ovo daje 2a = 86, tako da su a = 43 i b = 42

Dakle, postoje točno dva rješenja: (1) a = 11 i b = 6 (2) a = 43 i b = 42